«Станет ли нестандартный анализ анализом будущего?» - Е.И. Гордон (Восточный Иллинойский университет, Чарльтон, США)

Как известно, Ньютон и Лейбниц по-разному подходили к понятию бесконечно малой. В то время как для Ньютона бесконечно малые представляли собой переменные величины, исчезающие в процессе своего изменения, Лейбниц рассматривал их как идеальные числа, «меньшие любого могущего быть заданным количества». При подведении строгого логического фундамента под здание анализа (Коши, Вейерштрасс, Кантор, Дедекинд) в основу была положена точка зрение Ньютона. К началу XX века у математиков сложилось мнение, что строгое построение анализа на основе подхода Лейбница невозможно. В 60-х годах прошлого века А. Робинсон это мнение опроверг, осуществив такое построение. Новый анализ Робинсон назвал Нестандартным Анализом (НА). Это название сохраняется и поныне.
В 1973 году Робинсон сделал доклад о НА в Институте Высших исследований в Принстоне. Комментируя его доклад и отвечая при этом критикам НА, Курт Гёдель сказал, в частности: «…есть серьезные основания полагать, что НА в той или иной версии станет анализом будущего». По прошествии почти 45 лет после этого предсказания приходится честно признать, что оно не осуществилось.
В этом докладе я постараюсь сформулировать и обосновать надежду на то, почему это всё-таки может произойти. В основе этой надежды лежит тот факт, что плохо определенные свойства чисел типа «быть очень большими или очень малыми» и многие другие имеют точные формулировке в языке нестандартного анализа. Следовательно, некоторые утверждения относительно этих свойств могут быть точно сформулированы на языке НА и доказаны на современном уровне строгости, т. е. на уровне строгости канторовой теории множеств. Будут приведены примеры таких утверждений, которые имеют ясный интуитивный смысл и могут даже наблюдаться в компьютерных экспериментах. Однако формулировки их аналогов на языке традиционной (стандартной) математики неестественны, а иногда и настолько сложны, что практически не читаемы.