«Количественные характеристики свойства отслеживания» - С.Б. Тихомиров (Лаборатория им. П.Л. Чебышева Санкт-Петербургского государственного университета)

Теория отслеживания изучает свойства псевдотраеторий (приближенных траекторий, ε-траекторий) динамических систем. Основным вопросом теории отcлеживания является: при каких условиях для любой псевдотраектории с достаточно малыми погрешностями может быть найдена близкая точная траектория (отслеживающая траектория) динамической системы. Понятие отслеживания было введено Аносовым в 60-х годах при изучении устойчивости геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны. Позднее оно было обобщено на гладкие динамические системы с дискретным и непрерывным временем и сыграло ключевую роль при характеризации грубых систем, введенных ранее Андроновым и Понтрягиным. В частности, при помощи свойства отслеживания доказывается структурная устойчивость гиперболических множеств. Известно, что в окрестности гиперболического множества отображение обладает свойством отслеживания. При этом до сих пор известно очень мало примеров негиперболических множеств, обладающих свойством отслеживания. В то же время на практике (например, при численном моделировании) псевдотраектории могут быть приближены точными траекториями намного лучше, чем предсказывает теория, и это требует дополнительного объяснения. Следует упомянуть результаты Хаммела-Гребоджи-Йорка, в которых рассматривались псевдотраекторииконечной длины. Основываясь на результатах численных экспериментов они выдвинули гипотезу о длине отслеживаемых псевдотраекторий для неравномерно гиперболических множеств.
В докладе будут рассмотрены количественные аспекты свойства отслеживания, а именно, зависимость между погрешностью псевдотраекторий и точностью отслеживания и устойчивость свойства отслеживания к малым возмущениям динамической системы. В частности, будет показано, что
1) зависимость между погрешностью псевдотраекторий и точностью отслеживания линейна тогда и только тогда, когда динамическая система структурно устойчива;
2) гипотезаХаммела-Гребоджи-Йорка не может быть улучшена.
Кроме этого, будет
3) указан класс неравномерно гиперболических систем, для которых получена точная оценка длины отслеживаемых псевдотраекторий и
4) приведен пример не структурно устойчивого векторного поля, обладающего свойством отслеживания вместе со всеми малыми возмущениями. Отметим, что ранее было показано, что аналогичный пример для случая диффеоморфизмов невозможен.