Пусть V, W — выпуклые тела в Rn, и их проекции на любую 2-мерную плоскость или k-мерную плоскость, k > 1) совмещаются некоторым линейным преобразованием этой плоскости. В качестве таких преобразований главным образом изучаются сохраняющие ориентацию изометрии или преобразования подобия. Основной вопрос формулируется так: насколько различными могут быть тела V и W?
Получены условия, при которых эти тела совмещаются в Rn либо параллельным переносом, либо гомотетией. Приводятся примеры, показывающие существенность этих условий.
С этими задачами тесно связан вопрос о "непрерывном кубике Рубика": пусть непрерывные функции f и g определены на сфере, и их ограничения на любую окружность большого круга совпадают после некоторого подворота этой окружности. Верно ли, что f(x) = g(x) или f(x) = g(-x) при всех x (то есть все углы таких подворотов либо нулевые, либо равны 180 градусам)?
Литература
R.J. Gardner. Geometric tomography, 2-d edition. Cambridge University Press, 2006.