В докладе будут рассматриваться асимптотические свойства различных типов дифференциальных операторов четвертого порядка. Первая часть будет посвящена исследованию оператору четвертого порядка общего вида (в симметричной форме) с двумя типами граничных условий: типа Неймана-Дирихле и типа Неймана. При этом предполагается, что коэффициенты изучаемого оператора являются вещественными, периодическими и суммируемыми. Будет дан обзор имеющихся на данный момент результатов, касающихся спектральных свойств рассматриваемых классов дифференциальных операторов, а также возможные приложения. Вторая часть доклада будет посвящена изучению одного частного случая этого оператора — двучленного оператора четвертого порядка. Этот оператор также будет рассматриваться с общими условиями на коэффициент, но при этом граничные условия будут зависеть от спектрального параметра. В последние годы задачи со спектральным параметром в граничном условии сформировали отдельную область в спектральной теории дифференциальных операторов. В первую очередь это связано с тем, что наличие спектрального параметра существенно усложняет изучение его асимптотических свойств и классические методы не применимы для их изучения. Для рассматриваемых дифференциальных операторов как в первой, так и во второй части будут установлены асимптотические формулы для собственных значений, а также выписана формула следа. Полученные результаты существенно усиливают все имеющиеся в настоящий момент известные асимптотики для таких классов дифференциальных операторов.
Made on
Tilda