«Сравнительный анализ свойств операторов Ходжа-де Рама и Тачибаны» - С.Е. Степанов, И.И. Цыганок (Финансовый университет при правительстве РФ, Москва)

В докладе будут рассмотрены лапласиан Ходжа-де Рама и оператор Тачибаны, действующие на дифференциальных формах компактного риманова многообразия. Если изучение свойств первого оператора можно отнести к классике римановой геометрии, то второй оператор был введен в рассмотрение нами сравнительно недавно. Он является эллиптическим, а потому на компактном многообразии его ядро, состоящее из конформно киллинговых форм, имеет конечную размерность, названную числом Тачибаны — по аналогии с числом Бетти, которое равно размерности пространства гармонических форм, составляющих ядро лапласиана Ходжа-де Рама. Более того, числа Тачибаны обладают двойственностью, аналогичной двойственности Пуанкаре для чисел Бетти. Будут сообщены и другие свойства чисел Тачибаны и установлена их связь с числами Бетти. В докладе будет проведен сравнительный анализ спектральных свойств операторов Ходжа-де Рама и Тачибаны на компактных римановых многообразиях со знакоопределённым ограниченным оператором кривизны. В частности, будут найдены нижние грани спектров этих операторов и дана оценка их кратностей.
Список литературы
1. Степанов С. Е. Новый сильный лапласиан на дифференциальных формах, Математические заметки, 2004, Т. 76, № 3, 452−458.
2. Stepanov S. E., Mikeš J. Betti and Tachibana numbers, Miskolc Mathematical Notes, 2013, Vol.14, No. 3, pp. 265−275.
3. Степанов С. Е., Цыганок И. И. Сравнительный анализ спектральных свойств операторов Ходжа-де Рама и Тачибаны, Итоги науки и техники ВИНИТИ РАН. Серия "Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры", 2014, Т. 127, С.151−182.
4. Stepanov S.E., Mikeš J. Eigenvalue of the Tachibana operator which acts on differential forms, Differential Geometry and its Applications, 2014, Vol. 36, pp. 19−25
5. Степанов С. Е., Микеш Й. Лапласиан Ходжа-де Рама и оператор Тачибаны на компактном римановом многообразии со знакоопределенным оператором кривизны, Известия РАН. Серия Математическая, 2015, Т. 79, № 2, 157−180.